Question

设a，b∈R，关于x的方程（x²-ax+1）（x²-bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[

1

3

，2]，则ab的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据Q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．

解答： 解：设方程（x²-ax+1）（x²-bx+1）=0的4个实数根依次为m，mq，mq²，mq³，
由等比数列性质，不妨设m，mq³为x²-ax+1=0的两个实数根，则mq，mq²为方程x²-bx+1=0的两个根，
由韦达定理得，m²q³=1，m+mq³=a，mq+mq²=b，则m2=

1

q3

故ab=（m+mq³）（mq+mq²）=m²（1+q³）（q+q²）
=

1

q3

（1+q³）（q+q²）=q+

1

q

+q2+

1

q2

，
设t=q+

1

q

，则q2+

1

q2

=t²-2，
因为q∈[

1

3

，2]，且t=q+

1

q

在[

1

3

，1]上递减，在（1，2]上递增，
所以t∈[2，

10

3

]，
则ab=t²+t-2=(t+

1

2

)2-

9

4

，
所以当t=2时，ab取到最小值是4，
当t=

10

3

时，ab取到最大值是

112

9

，
所以ab的取值范围是：[4，

112

9

]．

点评：本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．