Question

如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求的A₁到平面AB₁D的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接A₁B交AB₁于O，连接OD，可得OD∥A₁C，即可证明A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）利用VC-AB1D=VB1-ADC，求A₁到平面AB₁D的距离．

解答： （Ⅰ）证明：连接A₁B交AB₁于O，连接OD，
在△BA₁C中，O为BA₁中点，D为BC中点，
∴OD∥A₁C…（3分）
∵OD?面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D…（6分）
（Ⅱ）解：由①可知A₁C∥平面AB₁D，
∴点A₁到平面AB₁D的距离等于点C到平面AB₁D的距离…（8分）
∵△AD₁B为Rt△，
∴S△ADB1=

15

2

S△ADC=

1

2

S△ABC=

3

2

…（10分）
设点C到面AB₁D的距离为h，则VC-AB1D=VB1-ADC即

1

3

×

15

2

•h=

1

3

×2×

3

2

解得h=

2 5

5

…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查点C到面AB₁D的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．