Question

已知函数，.
（Ⅰ）已知，若，求的值；
（Ⅱ）设，当时，求在上的最小值；
（Ⅲ）求函数在区间上的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，最小值为；（Ⅲ）当时，在上的最大值为0；当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为.

试题分析：（Ⅰ）将函数去掉绝对值写成分段函数形式，结合函数图像满足的只可能为，从而，，由即可得；（Ⅱ）写出的表达式，根据分段函数的性质，先求出每一段上的最小值，其中最小的即为 的最小值；（Ⅲ）将写成分段函数的形式，每一段均为二次函数的形式，结合二次函数图像，分类讨论函数的对称轴与区间的关系，从而求出最大值.
试题解析：（Ⅰ）
由图像可知，
即为，所以       3分
（Ⅱ），则，
当时，，即为，解得
当时，，即为，解得

当时，最小值为
（本问也可直接利用图像说明理由求解）          6分
（Ⅲ）
①记，结合图像可知，
当，即时，
当，即时，       8分
②记，结合图像可知，
当，即时，
当，即时，
当，即时，
③记，结合图像可知，
当，即时，
当，即时，       10分
由上讨论可知：
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，      15分
综上所述：当时，在上的最大值为0
当时，在上的最大值为
当时，在上的最大值为.        16分