Question

5．已知函数f（x）=x²-|x²-ax-2|，a为实数．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的最小值和最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，求出函数f（x）的表达式，结合图象即可求出函数在[0，3]上的最小值和最大值；
（Ⅱ）将函数表示为分段函数形式，结合一元二次函数单调性的性质和关系建立不等式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+2，x＜-1或x＞2\\ 2{x^2}-x-2，-1≤x≤2\end{array}\right.$…（3分
结合图象可知f（x）在$[0，\frac{1}{4}]$上单调递减，在$[\frac{1}{4}，3]$上单调递增，…（5分），
f（x）在[0，3]上的最小值为$f（\frac{1}{4}）=-\frac{17}{8}$，…（6分）
f（x）在[0，3]上的最大值为f（3）=5．…（7分）
（Ⅱ）令x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0，…（8分）
必有两根${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$，${x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$…（9分）
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ax+2，x＜{x_1}或x＞{x_2}\\ 2{x^2}-ax-2，{x_1}≤x≤{x_2}\end{array}\right.$…（11分）
若函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，
则必有a＞0且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}≥-1}\\{\frac{a}{4}≤2}\end{array}\right.$，解得：1≤a≤8…（15分）

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的图象和性质结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．