Question

10．已知函数f（x）=|x-5|-|x+a|
（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；
（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥$\frac{3}{2}$}，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将a=3代入f（x），只需f（x）在某区间无解即可；（2）通过讨论a的范围，去掉绝对值结合不等式的解集求出a的值即可．

解答 解：（1）a=3时，f（x）=|x-5|-|x+a|=|x-5|-|x+3|，
若不等式f（x）≥k+2的解集不是R，
x≥5时，x-5-x-3≥k+2无解即可，即k＞-10；
（2）若a≥-5，则-a＜x＜5时，
5-x-x-a≤1，解得：x≥$\frac{4-a}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得：a=1，
若a＜-5，则5＜x＜-a时，
x-5+x-a≤1，解得：x≤$\frac{6+a}{2}$，不合题意，
故a=1．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．