Question

如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH．

（1）求证：AB∥GH；

（2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）欲证结合条件中出现的中点，因此可以考虑利用三角形的中位线性质定理来证明线线平行：由，，，分别是，，，的中点，可知，，故，从而有平面，再根据性质“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”，可知平面，平面平面，故有；（2）根据条件为中点及可知，再结合条件平面，因此可以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则可知为平面的一个法向量，再设平面的一个法向量为，由，，得，取，得，因此两个法向量夹角的余弦值，从而平面与平面所成角的正弦值为．

试题解析：（1）∵，，，分别是，，，的中点， 1分

∴，， 2分 ∴，

又∵平面，平面， ∴平面， 3分

又∵平面，平面平面， 4分 ∴，

又∵，∴； 6分

（2）在中，∵，，∴，即，

又∵平面，∴，，两两垂直，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，(注：坐标写对给2分)

∴，， 8分

设平面的一个法向量为，

由，，得，取，得， 10分

又∵为平面的一个法向量，∴，

故平面与平面所成角的正弦值为． 12分

考点：1．线线平行的证明；2．利用空间向量求线面角．