Question

已知圆G：x²＋y²－2x－y＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角为π的直线l交椭圆于C，D两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

Answer 1

解　(1)∵圆G：x²＋y²－2x－y＝0经过点F，B，

∴F(2,0)，B(0，)，∴c＝2，b＝，

∴a²＝b²＋c²＝6，椭圆的方程为＋＝1.

(2)由题意知直线l的方程为y＝－(x－m)，m＞，

由

消去y，得2x²－2mx＋(m²－6)＝0.

由Δ＝4m²－8(m²－6)＞0，解得－2＜m＜2.

∵m＞，∴＜m＜2.设C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝m，x₁x₂＝，

∴y₁y₂＝＝x₁x₂－(x₁＋x₂)＋.

∵＝(x₁－2，y₁). ＝(x₂－2，y₂)，

∴·＝(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂＝x₁x₂－ (x₁＋x₂)＋＋4＝.

∵点F在圆E内部，∴＜0，

即＜0，解得0＜m＜3.

又＜m＜2，∴＜m＜3.

故m的取值范围是(，3).