Question

19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥面ABCD，PA=$\sqrt{3}$，E，F分别为BC，PA的中点．
（1）求证：BF∥面PDE
（2）求点C到面PDE的距离．

Answer 1

分析 （1）取PD中点G，连结GF，由已知得四边形BEGF是平行四边形，从而BF∥EG，由此能证明BF∥面PDE．
（2）以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到面PDE的距离．

解答 （1）证明：取PD中点G，连结GF，
∵E，F分别为BC，PA的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，
∴GF平行且等于BE，∴四边形BEGF是平行四边形，
∴BF∥EG，
∵BF?平面PDE，EG?平面PDE，
∴BF∥面PDE．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），D（2，0，0），E（2，$\sqrt{3}$，0），C（3，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PD}$=（2，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（3，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
设平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{2x-\sqrt{3}z=0}\\{2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，2$），
∴点C到面PDE的距离：d=$\frac{|3\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意向量法的合理运用．