Question

已知函数f（x）=ax-（2a-1）lnx+b
（1）若f（x）在x=1处的切线方程为y=x，求实数a，b的值；
（2）当a＞

1

2

时，研究f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）在x=1处的切线方程为y=x，可知f（1）=1，f′（1）=1，联立方程组求解a，b的值；
（2）求出原函数的导函数，由a的范围得到导函数零点的范围，由导函数的零点对定义域分段后利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性．

解答： 解：（1）由f（x）=ax-（2a-1）lnx+b，得
f′(x)=a-

2a-1

x

=

ax-(2a-1)

x

，
依题意，

f′(1)=1-a=1 f(1)=a+b=1

，解得

a=0 b=1

；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=a-

2a-1

x

=

ax-(2a-1)

x

，
当a＞

1

2

时，f′(x)=

a(x- 2a-1 a )

x

，令f′（x）=0得，x=

2a-1

a

＞0，
∴当x∈(0，

2a-1

a

)时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈(

2a-1

a

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
故f（x）的减区间为(0，

2a-1

a

)，增区间为(

2a-1

a

，+∞)．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．