Question

已知椭圆C过点A（1，

3

2

），两焦点为F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），O是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与该椭圆交于两个不同点P、Q，且直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列．
（1）求椭圆C的方程；     
（2）求直线l的斜率k；
（3）求△OPQ面积的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得c=

3

，设椭圆方程为

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，则

1

b2+3

+

3

4b2

=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列结合已知条件能求出k．
（3）直线OQ的斜率存在且不为0，及△＞0，得0＜m²＜2，且m≠1，求出点O到直线l的距离，由此能求出S_△OPQ的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆C过点A（1，

3

2

），两焦点为F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
∴c=

3

，设椭圆方程为

x2

b2+3

+

y2

b2

=1…（2分）
则

1

b2+3

+

3

4b2

=1，
解得b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0…（6分）
则△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）
=16（4k²-m²+1）＞0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2…（8分）
∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2⇒km(x1+x2)+m2=0⇒-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由于m≠0，故k2=

1

4

⇒k=±

1

2

，
∴直线l的斜率k为±

1

2

．…（10分）
（3）∵直线OQ的斜率存在且不为0，及△＞0
∴0＜m²＜2，且m≠1．…（12分）
设d为点O到直线l的距离，
则S△OPQ=

1

2

d|PQ|═

1

2

•

|m|

1+k2

1+k2

|x1-x2|
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2(2-m2)

…（14分）
则S_△OPQ＜

m2+2-m2

2

=1，
∴S_△OPQ的取值范围为（0，1）．…（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．