Question

20．若a，b在区间（0，1）内，则椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点的概率为1-$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与直线l：x+y=1联立，利用椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，确定a，b的关系，求出相应的面积，即可求出概率．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与直线l：x+y=1联立，可得（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
△=4a⁴-4（b²+a²）（a²-a²b²）＞0，
∴b²+a²＞1，
∵a，b在区间（0，1）内，
∴满足条件的区域的面积为1-$\frac{π}{4}$，
又a，b在区间（0，1）内，面积为1，
∴所求的概率为1-$\frac{π}{4}$．
故答案为：1-$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查几何概型概率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．