题目内容
设f（x）是定义在实数R上的函数，任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），当x＜0时，f（x）＞1且f（-1）=
．求：
（1）f（0）；
（2）证明：任意x，y∈R，x≠y，都有
＜0．
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（1）f（0）；
（2）证明：任意x，y∈R，x≠y，都有
| f(x)-f(y) |
| x-y |
考点：抽象函数及其应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）可得f（0）•f（0）=f（0），说明f（0）≠0后得出f（0）=1；
（2）先用单调性的定义证明函数是减函数．
（2）先用单调性的定义证明函数是减函数．
解答：
解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0），下面说明f（0）≠0：
若f（0）=0，f（-1）=f（0-1）=f（0）f（-1）=0，这与已知条件f（-1）＞1矛盾，故f（0）≠0，
∴f（0）=1；
（2）又对于任意x＞0，1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），即f（x）f（-x）=1，而f（-x）＞1，∴f（x）＞0，
∴任意实数x，f（x）＞0
设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]
∵x1-x2＜0
∴f（x1-x2）＞1
∴f（x1-x2）-1＞0
对f（x2）＞0
∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0
∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数，
故若x＞y，则f（x）＜f（y），∴x-y＞0时f（x）-f（y）＜0；
若x＜y，则f（x）＞f（y），∴x-y＜0时f（x）-f（y）＞0；
综上任意x，y∈R，x≠y，都有
＜0．
若f（0）=0，f（-1）=f（0-1）=f（0）f（-1）=0，这与已知条件f（-1）＞1矛盾，故f（0）≠0，
∴f（0）=1；
（2）又对于任意x＞0，1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），即f（x）f（-x）=1，而f（-x）＞1，∴f（x）＞0，
∴任意实数x，f（x）＞0
设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]
∵x1-x2＜0
∴f（x1-x2）＞1
∴f（x1-x2）-1＞0
对f（x2）＞0
∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0
∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数，
故若x＞y，则f（x）＜f（y），∴x-y＞0时f（x）-f（y）＜0；
若x＜y，则f（x）＞f（y），∴x-y＜0时f（x）-f（y）＞0；
综上任意x，y∈R，x≠y，都有
| f(x)-f(y) |
| x-y |
点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．
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