Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

3

，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于点D，则tan∠BDC的值等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆方程，求出A，B，C，F的坐标，再由离心率公式，得到b=

5

3

a，c=

2

3

a，再由直线的斜率公式和直线CF到直线AB的角的正切公式，即可求得．

解答： 解：由椭圆的方程可得，F（-c，0），A（-a，0），B（0，b），C（0，-b），
由于离心率为

2

3

，则

c

a

=

2

3

，则b=

5

3

a，c=

2

3

a，
直线AB的斜率为：

b

a

=

5

3

，
直线CF的斜率为：

b

-c

=-

5

2

则tan∠BDC=

5 3 + 5 2

1+(- 5 3 × 5 2 )

=5

5

．
故答案为：5

5

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式及两直线的到角公式，考查运算能力，属于中档题．