Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

12

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先将解析式三角恒等变形为y=Asin（ωx+φ）的形式然后解得相关问题

解答： 解：因为f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+2sin（x-

π

4

）cos（

π

2

-x-

π

4

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin（2x-

π

2

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
所以（1）函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
因为y=sinx的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以函数的递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．
（2）因为x∈[-

π

12

，

π

12

]，所以2x-

π

6

∈[-

π

3

，0]，所以sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，0]，
所以函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

12

]上的值域是[-

1

2

，0]．

点评：本题考查了三角函数的恒等变形以及三角函数的性质运用；关键是正确化简三角函数式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用简单三角函数性质解答．