Question

1．在△ABC中，cos2A-3cos（B+C）=1，△ABC的面积为$5\sqrt{3}，b=5$，则sinBsinC=$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 利用倍角公式和诱导公式即可得出A；由三角形的面积公式c=4．由余弦定理得a．通过正弦定理求解即可．

解答 解：由cos2A-3cos（B+C）=1，得2cos²A+3cosA-2=0，
即（2cosA-1）（cosA+2）=0，解得cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去）．
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．
由S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=5$\sqrt{3}$，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=25+16-20=21，故a=$\sqrt{21}$．
又由正弦定理得sinBsinC=$\frac{b}{a}$sinA•$\frac{c}{a}$sinA=$\frac{bc}{{a}^{2}}$sin²A=$\frac{20}{21}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查三角形的解法，熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理是解题的关键．