Question

4．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式f（x）＞$\frac{4}{{e}^{x}}$+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 构造辅助函数，求导，由函数的单调性与导数的关系，求得函数的单调性，则原不等式转化成F（x）＞F（1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．

解答 解：设F（x）=e^xf（x）-2e^x，（x∈R），
求导F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]，
∵f（x）+f′（x）＞2，
∴f（x）+f′（x）-2＞0，
∴F′（x）＞0，
∴y=F（x）在定义域上单调递增，
∵e^xf（x）＞2e^x+4，即F（x）＞4，
又∵F（1）=ef（1）-2e=4，
∴F（x）＞F（1），
∴x＞1，
故选A．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．