Question

6．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为为边BC的中点，AB=4，AA₁=2．
（1）若点E是B₁C₁的中点，求证A₁E∥平面ADB₁；
（2）求证：平面ADC₁⊥平面ADB₁．

Answer 1

分析 （1）连接ED，运用平行四边形的判定和性质，可得A₁E∥AD，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）运用直角三角形的勾股定理及逆定理，证得AD⊥DC₁，同理可得AD⊥DB₁，可得∠C₁DB₁为C₁-AD-B₁的平面角，再由面面垂直的定义，即可得证．

解答 证明：（1）连接ED，
由点D为为边BC的中点，点E是B₁C₁的中点，可得ED=C₁C，
ED∥C₁C，又A₁A=C₁C，A₁A∥C₁C，
则ED∥A₁A，ED=A₁A，
即有四边形EDAA₁为平行四边形，
可得A₁E∥AD，
A₁E?平面ADB₁，AD?平面ADB₁，
则A₁E∥平面ADB₁；
（2）在直角△A₁AC₁中，AC₁=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，
在正三角形ABC中，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
在直角△CA₁DC₁中，DC₁=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
由AD²+DC₁²=AC₁²，可得AD⊥DC₁，
同理可得AD⊥DB₁，
可得∠C₁DB₁为C₁-AD-B₁的平面角，
在三角形DB₁C₁中，DB₁=DC₁=2$\sqrt{2}$，B₁C₁=4，
可得∠C₁DB₁=90°，
即有二面角C₁-AD-B₁为直二面角，
故平面ADC₁⊥平面ADB₁．

点评 本题考查线面平行的判定定理的运用，以及面面垂直的判定，注意运用定义法，考查平面几何的有关定理，主要是勾股定理和平行四边形的判定与性质，考查推理能力，属于中档题．