Question

已知圆C：x²+y²=r²和点P（a，b）若点P在圆C内，过P作直线l交圆C于A、B两点，分别过A、B两点作圆C的切线，当两条切线相交于点Q时，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），因为AQ与圆C相切，所以AQ⊥CA，所以（x₁-x₀）（x₁-0）+
（y₁-y₀）（y₁-0）=0，因为x₁²+y₁²=r²，所以x₀x₁+y₀y₁=r²，同理x₀x₂+y₀y₂=r²．所以过点A，B的直线方程为xx₀+yy₀=r²．再由直线AB过点P（a，b），代入即可得到Q的轨迹方程．

解答： 解：圆C：x²+y²=r²的圆心C为（0，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
因为AQ与圆C相切，所以AQ⊥CA．  
所以（x₁-x₀）（x₁-0）+（y₁-y₀）（y₁-0）=0，
即x₁²-x₀x₁+y₁²-y₀y₁=0，
因为x₁²+y₁²=r²，
所以x₀x₁+y₀y₁=r²，
同理x₀x₂+y₀y₂=r²．
所以过点A，B的直线方程为xx₀+yy₀=r²．
因直线AB过点（a，b）．
所以代入得ax₀+by₀=r²，
所以点Q的轨迹方程为：ax+by=r²．

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，考查切线的性质，直线方程，点与直线的位置关系，其中根据已知结合切线的性质，得到过点A，B的直线方程为xx₀+yy₀=r²，是解答的关键．