Question

已知函数y=f（x）为R上可导函数，且对?x∈R都有f（2x）=x³f′（1）-10x成立，则函数y=f（x），x∈[-1，1]的值域为（　　）

• A、R
• B、[-6，6]
• C、[0，6]
• D、（-∞，0）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：设t=2x则x=

1

2

t，代入f（2x）=x³f′（1）-10x化简，把t换成x求出f（x）的解析式，由求导公式求出f′（x），令x=1代入列出方程求出f′（1），代入f′（x）并判断符号，从而得到函数f（x）在[-1，1]上的单调性，求出函数的最值，即可求出函数的值域．

解答： 解：设t=2x，则x=

1

2

t，代入f（2x）=x³f′（1）-10x得，
y=

1

8

t3f′（1）-5t，则f（x）=

1

8

x3f′（1）-5x，
所以f′（x）=

3

8

x2f′（1）-5，
令x=1代入上式可得，f′（1）=

3

8

×f′（1）-5，解得f′（1）=-8，
所以f（x）=-x³-5x，则f′（x）=-3x²-5＜0，
则函数f（x）在[-1，1]上是减函数，
当x=-1时，函数f（x）取到最大值f（-1）=6，
当x=1时，函数f（x）取到最小值f（1）=-6，
所以所求的函数值域是[-6，6]，
故选：B．

点评：本题考查求导公式，导数与函数的单调性的关系，以及换元法求函数的解析式，属于中档题．