Question

已知椭圆的两个焦点分别是F₁（-1，0）和F₂（1，0），P为椭圆上一点，且F₁F₂是PF₁和PF₂的等差中项．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在第三象限内，且∠P₁FF₂=120°，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，可得c=1，再由F₁F₂是PF₁和PF₂的等差中项建立等式解出a值，即可得出椭圆方程；
（2）由题意设PF₁=m，PF₂=n，则由椭圆定义和余弦定理得

m+n=4 n2=m2+4-4mcos120°

，解出m，n的值，再由余弦定理求值即可．

解答： 解：（1）因为PF₁+PF₂=2a=2F₁F₂=4c=4，即2a=4，解得a=2，
∴b=

22-1

=

3

，故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设PF₁=m，PF₂=n，则由椭圆定义和余弦定理得

m+n=4 n2=m2+4-4mcos120°

，
所以（4-m）²=m²+4+2m，解得m=

6

5

，n=

14

5

．
所以cos∠F₁PF₂=

n2+m2-4

2mn

=

11

14

．

点评：本题考查椭圆的简单性质及余弦定理，属于基础知识考查题．