Question

14．一半径为4m的水轮，如图所示水轮圆心O距离水面2m，己知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上P点从水中浮现时（图中P₀）点开始计算时间．
（1）求P点相对于水面的高度h（m）与时间t（s）之间的函数关系式：
（2）P点第一次达到最高点约要多长时间？

Answer 1

分析 （1）先根据h的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当t=0时，h=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为6，即h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2=6，可求得时间．

解答 解：（1）依题意可知h的最大值为6，最小为-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A+B=6}\\{-A+B=-2}\end{array}\right.$，∴A=4，B=2；
∵水轮每秒钟内所转过的角为$\frac{4×2π}{60}$=$\frac{2π}{15}$，得h=4sin（$\frac{2π}{15}$t+φ）+2，
当t=0时，h=0，得sinφ=-$\frac{1}{2}$，即φ=-$\frac{π}{6}$，故所求的函数关系式为h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2
（2）令h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2=6，得sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）=1，
取$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得t=5，
故点P第一次到达最高点大约需要5s．

点评 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．