Question

若函数f（x）满足对于x∈[n，m]（m＞n）时有

n

k

≤f（x）≤km恒成立，则称函数f（x）在区间[n，m]（m＞n）上是“被k限制”的，若函数f（x）=x²-ax+a²在区间[

1

a

，a]（a＞0）上是“被2限制”的，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（1，

  2

  ]
• B、（1，

  3	3 2

  ]
• C、（1，2]
• D、[

  3	3 2

  ，2]

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据题意得a＞1；求出x∈[

1

a

，a]时，f（x）的取值范围①，再由

1

2a

≤f（x）≤2a②，
由①②得不等式组，求出a的取值范围．

解答： 解：根据题意，∵a＞0，且

1

a

＜a，∴a＞1；
f（x）=x²-ax+a²=(x-

a

2

)2+

3a2

4

≥

3a2

4

，
（Ⅰ）当

a

2

∈[

1

a

，a]，即a≥

2

时，在x=

a

2

时，f（x）取得最小值

3a2

4

；
又∵（

a

2

-

1

a

）-（a-

a

2

）=-

1

a

＜0，
∴x=a时，f（x）取得最大值a²；
∴f（x）的取值范围是[

3a2

4

，a²]①；
又∵

1

2a

≤f（x）≤2a②；
∴

1 2a ≤ 3a2 4 a2≤2a

，
解得

3	2 3

≤a≤2；
∴

2

≤a≤2；
（Ⅱ）当

a

2

＜

1

a

，即1＜a＜

2

时，
f（x）在[

1

a

，a]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（

1

a

）=

1

a2

-1+a²，最大值是f（a）=a²；
∴f（x）的值域是[

1

a2

-1+a²，a²]③；
又∵

1

2a

≤f（x）≤2a②；
∴

1 2a ≤ 1 a2 -1+a2 a2≤2a

；
解得1＜a＜

2

；
综上，a的取值范围是{a|1＜a≤2}．
故选：C．

点评：本题考查了新定义的问题以及函数的应用问题，解题时应根据题意，求出函数f（x）的取值范围，列不等式组，求出a的取值范围．