Question

15．如图，在同一个平面内，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模分别为1，1，$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为α，且tanα=7，$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为45°．若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），则m+n=3．

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$，sinα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$．C$（\frac{1}{5}，\frac{7}{5}）$．可得cos（α+45^°）=$-\frac{3}{5}$．sin（α+45^°）=$\frac{4}{5}$．B$（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．利用$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．
由$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为α，且tanα=7．
∴cosα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$，sinα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$．
∴C$（\frac{1}{5}，\frac{7}{5}）$．
cos（α+45^°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=$-\frac{3}{5}$．
sin（α+45^°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{4}{5}$．
∴B$（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．
∵$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），
∴$\frac{1}{5}$=m-$\frac{3}{5}$n，$\frac{7}{5}$=0+$\frac{4}{5}$n，
解得n=$\frac{7}{4}$，m=$\frac{5}{4}$．
则m+n=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．