题目内容

（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a= $数学公式$ ，求△ABC面积的最大值．

解：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°．
又由a²-c²=b²-mbc可以变形得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
再由余弦定理可得 cos A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴m=1． …（4分）
（2）∵cos A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴bc=b²+c²-a²≥2bc-a²，即bc≤a²，
故S_△ABC= $\text{[math]}$ sin A≤ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△ABC面积的最大值为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．…（8分）
分析：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°，再由余弦定理和条件可得 cos A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此求得m的值．
（2）由cos A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可得bc≤a²，故S_△ABC= $\text{[math]}$ sin A≤ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，由此求得结果．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及解三角形的方法，属于中档题．