Question

（理）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且

m

=(

2

(sinC+sinA)，c-b)，

n

=(sinB，2sinC-2sinA)，

m

∥

n

，△ABC的外接圆半径为

2

，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求：y=sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用向量平行，得到关系式，利用正弦定理以及余弦定理求角A的大小；
（Ⅱ）通过三角形的内角和化简y=sinB+sinC为一个角的三角函数的形式，结合角的范围，正弦函数值的范围，求出表达式的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(

2

(sinC+sinA)，c-b)，

n

=(sinB，2sinC-2sinA)，

m

∥

n

∴2

2

(sin2C-sin2A)=(c-b)sinB…（2分）
由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，且R=

2

，
代入2

2

(sin2C-sin2A)=(c-b)sinB，
可得c²-a²=bc-b²，…（4分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又∵A∈（0，π），∴A=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）sinB+sinC=sinB+sin(

2π

3

-B)
=sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB
=

3

(

3

2

sinB+

1

2

cosB)
=

3

sin(B+

π

6

)…（9分）
∵B∈(0，

2π

3

)，∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]
∴sinB+sinC∈(

3

2

，

3

]…（12分）

点评：本题是中档题，通过向量共线，考查三角函数的化简求值，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．