Question

（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°，再由余弦定理和条件可得 cos A=

m

2

=

1

2

，由此求得m的值．
（2）由cos A=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

可得bc≤a²，故S_△ABC =

bc

2

sin A≤

a2

2

×

3

2

，由此求得结果．

解答：解：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°．
又由a²-c²=b²-mbc可以变形得

b2+c2-a2

2bc

=

m

2

．
再由余弦定理可得 cos A=

m

2

=

1

2

，
∴m=1．         …（4分）
（2）∵cos A=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴bc=b²+c²-a²≥2bc-a²，即bc≤a²，
故S_△ABC =

bc

2

sin A≤

a2

2

×

3

2

=

3 3

4

，
∴△ABC面积的最大值为

3

4

3

．…（8分）

点评：本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及解三角形的方法，属于中档题．