Question

6．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜$\frac{π}{2}$），若f（x）＜1，对x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$）恒成立，则f（$\frac{π}{4}$）的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． -1
• D． -$\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 根据f（x）＜1得出-π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；再根据x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$）得出-$\frac{2π}{3}$+φ＜2x+φ＜-$\frac{π}{6}$+φ；
由|φ|＜$\frac{π}{2}$求出-$\frac{π}{3}$≤φ≤$\frac{π}{6}$，从而求出f（$\frac{π}{4}$）的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）+1＜1，
∴sin（2x+φ）＜0，
∴-π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；
又x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$），
∴-$\frac{2π}{3}$＜2x＜-$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{2π}{3}$+φ＜2x+φ＜-$\frac{π}{6}$+φ；
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2π}{3}+φ≥-π}\\{-\frac{π}{6}+φ≤0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{π}{3}$≤φ≤$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2×$\frac{π}{4}$+φ≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）≤1，
∴2≤2sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）+1≤3，
∴f（$\frac{π}{4}$）的最小值是2．
故选：B．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，解题的关键是求出φ的取值范围，是综合性题目．