Question

已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x³＋x²在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

解析　(1)根据题意知，f′(x)＝(x＞0)，

当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；

当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．

(2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.

∴g(x)＝x³＋x²－2x，

∴g′(x)＝3x²＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，

∴

由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，

∴∴－＜m＜－9.