Question

13．设数列{a_n}的前n项和S_n，并满足a_n＞0，4S_n=（a_n+1）²（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b₁=3，b_n=S${\;}_{{b}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），记c_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}-1}$，{c_n}的前n项和为T_n，证明：$\frac{3}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，将n换为n-1，两式相减，结合等差数列的通项公式，即可得到所求；
（2）由b₁=3，两边取以3为底的对数，运用等比数列的通项公式求得b_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，c_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}-1}$=$\frac{{3}^{{2}^{n-1}}}{{3}^{{2}^{n}}-1}$＞0，再由c_n=$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{（{3}^{{2}^{n-1}}-1）（{3}^{{2}^{n-1}}+1）}$，结合不等式的性质和裂项相消求和，即可得证．

解答 解：（1）当n=1时，4a₁=4S₁=（a₁+1）²，
解得a₁=1，
当n≥2时，由4S_n=（a_n+1）²（n∈N^*），
将n换为n-1，可得4S_n-1=（a_n-1+1）²，
两式相减可得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
化简可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
由a_n＞0，可得a_n-a_n-1=2，
即有a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：由a_n=2n-1，可得S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）=n²，
b_n=S${\;}_{{b}_{n-1}}$（n≥2）=b²_n-1，
由b₁=3，两边取以3为底的对数，可得
log₃b_n=2log₃b_n-1，
即有log₃b_n=log₃b₁•2^n-1=2^n-1，
即b_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，c_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}-1}$=$\frac{{3}^{{2}^{n-1}}}{{3}^{{2}^{n}}-1}$＞0，
则T_n≥c₁=$\frac{3}{{3}^{2}-1}$=$\frac{3}{8}$；
又c_n=$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{（{3}^{{2}^{n-1}}-1）（{3}^{{2}^{n-1}}+1）}$，
当n≥2时，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{80}$+$\frac{1}{80}$-$\frac{1}{80×82}$+…+$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{（{3}^{{2}^{n-1}}-1）（{3}^{{2}^{n-1}}+1）}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（{3}^{{2}^{n-1}}-1）（{3}^{{2}^{n-1}}+1）}$＜$\frac{1}{2}$．
综上可得，$\frac{3}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列通项公式的求法，注意运用下标变换法，同时考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查不等式的证明，注意运用裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．