Question

8．已知函数f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$（a＞2），当x∈[0，ln3]时，函数f（x）的最大值与最小值的差为$\frac{3}{2}$，则实数a=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 利用函数f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$（a＞2）．去掉绝对值，讨论2＜a＜3和a＞3根据函数的单调性确定f（x）的最值，再由条件解方程，可求参数的值，从而可得结论．

解答 解：由a＞2，f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-a+\frac{{a}^{2}}{2}，{e}^{x}≥a}\\{a-{e}^{x}+\frac{{a}^{2}}{2}，{e}^{x}＜a}\end{array}\right.$，
∵x∈[0，ln3]，∴e^x∈[1，3]，
∴e^x=a时，函数取得最小值为$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵x=0时，a-e^x+$\frac{{a}^{2}}{2}$=-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$；
x=ln3时，e^x-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$=3-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
当2＜a＜3时，函数f（x）的最大值M=-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵函数f（x）的最大值M与最小值m的差为$\frac{3}{2}$，
∴2＜a＜3时，-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{5}{2}$，
当a＞3时，lna＞ln3，此时f（x）在[0，ln3]内单调递减，
所以函数在f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，
即有-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$-（3-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$）=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{11}{4}$，不符合a大于3，所以舍去．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查利用函数的单调性，考查函数最值的确定，其中确定函数f（x）的最大值M与最小值m是关键．