Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n，a_n，2^n-1成等差数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等差数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项；
（2）利用b_n，a_n，2^n-1成等差数列，可求数列{b_n}的通项公式，利用分组求和可得其前n项和．

解答： 解：（1）设公差为d，则a₂=1+d，a₅=1+4d，
则1×（1+4d）=（1+d）²，
∴d=2，
∴a_n=2n-1；
（2）∵b_n，a_n，2^n-1成等差数列，
∴2（2n-1）=b_n+2^n-1，
∴b_n=2^n-1-2（2n-1），
∴前n项和为

1-2n

1-2

-2×

n(1+2n-1)

2

=2ⁿ-1+2n²．

点评：本题考查等差数列和等比数列的定义，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．