我们把满足:${x {n+1}}={x n}-\frac{{f}}$的数列{xn}叫做牛顿数列．已知函数f(x)=x2-1.数列{xn}为牛顿数列.设${a n}=ln\frac{{{x n}-1}}{{{x n}+1}}$.已知a1=2.则a3=8．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．我们把满足：${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$的数列{x_n}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x²-1，数列{x_n}为牛顿数列，设${a_n}=ln\frac{{{x_n}-1}}{{{x_n}+1}}$，已知a₁=2，则a₃=8．

分析依题意，可求得${a}_{n+1}=ln\frac{{x}_{n+1}-1}{{x}_{n+1}+1}$=ln$\frac{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）-1}{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）+1}$=ln$\frac{{{（x}_{n}-1）}^{2}}{{{（x}_{n}+1）}^{2}}$=2$ln\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}+1}$=2a_n，即数列{a_n}是以2为公比的等比数列，又a₁=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．

解答解：∵f（x）=x²-1，数列{x_n}为牛顿数列，
∴${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$=x_n-$\frac{{{x}_{n}}^{2}-1}{{2x}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$），
∴${a}_{n+1}=ln\frac{{x}_{n+1}-1}{{x}_{n+1}+1}$=ln$\frac{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）-1}{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）+1}$=ln$\frac{{{（x}_{n}-1）}^{2}}{{{（x}_{n}+1）}^{2}}$=2$ln\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}+1}$=2a_n，
又a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a₃=2×2²=8．
故答案为：8．

点评本题考查数列递推式，求得数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．

练习册系列答案

3．已知等差数列{a_n}中，a₁=11，a₅=-1，则{a_n}的前n项和S_n的最大值是（　　）

20．已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x²+y²=4相离，则△ABC是（　　）

	A．	直角三角形		B．	锐角三角形
	C．	钝角三角形		D．	以上情况都有可能

7．已知复数z的实部和虚部相等，且z（2+i）=3-bi（b∈R），则|z|=（　　）

17．已知全集U=R，集合A={x|x²+x-6＞0}，B={y|y≤3}，则（∁_UA）∩B=（　　）

4．已知$\frac{1}{2}$≤m≤3，函数f（x）=ln（x+2）+$\frac{m}{2}{x^2}$-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若$?m∈[{\frac{1}{2}，3}]$，对任意的x₁，x₂∈[0，2]（x₁≠x₂），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜t|$\frac{1}{{{x_1}+2}}-\frac{1}{{{x_2}+2}}$|恒成立，求t的最小值．

1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（　　）

	A．	若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n		B．	若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
	C．	若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α		D．	若α∥β，m∥α，则m∥β

2．已知函数f（x）=Acos（ωx-$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）相邻两条对称轴相距$\frac{π}{2}$，且f（0）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α、β∈（0，$\frac{π}{4}$），f（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{10}{13}$，f（β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，求tan（2α-2β）的值．

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