Question

2．已知函数f（x）=Acos（ωx-$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）相邻两条对称轴相距$\frac{π}{2}$，且f（0）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α、β∈（0，$\frac{π}{4}$），f（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{10}{13}$，f（β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，求tan（2α-2β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦函数的周期性求得ω，由f（0）=1，求得A，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式，求得tan2α、tan2β的值，再利用两角差的正切公式求得tan（2α-2β）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Acos（ωx-$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）相邻两条对称轴相距$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2；
又f（0）=$\frac{1}{2}$A=1，∴A=2，∴f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）∵α、β∈（0，$\frac{π}{4}$），f（α-$\frac{π}{3}$）=2cos[2（α-$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=2cos（2α-π）=-2cos2α=$\frac{10}{13}$，
∴cos2α=$\frac{5}{13}$，sin2α=$\sqrt{{1-cos}^{2}2α}$=$\frac{12}{13}$，tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{12}{5}$．
f（β+$\frac{π}{6}$）=2cos[2（β+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=2cos2β=$\frac{6}{5}$，∴cos2β=$\frac{3}{5}$，sin2β=$\sqrt{{1-cos}^{2}2β}$=$\frac{4}{5}$，tan2β=$\frac{sin2β}{cos2β}$=$\frac{4}{3}$．
求tan（2α-2β）=$\frac{tan2α-tan2β}{1+tan2α•tan2β}$=$\frac{\frac{12}{5}-\frac{4}{3}}{1+\frac{12}{5}•\frac{4}{3}}$=$\frac{16}{63}$．

点评 本题主要考查余弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．