Question

设方程2lnx=7-2x的解为x₀，则关于x的不等式（x+1）（x-3-x₀）＜0的最大整数解为（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：利用导数研究函数f（x）=2lnx-（7-2x）（x＞0）的最大零点，再利用零点存在定理找出函数f（x）的零点存在范围，再利用一元二次不等式解法可得不等式（x+1）（x-3-x₀）＜0的解集，即可得出．

解答： 解：由于求关于x的不等式（x+1）（x-3-x₀）＜0的最大整数解．
令f（x）=2lnx-（7-2x）（x＞0），因此求f（x）=0的最大零点即可．
f′（x）=

2

x

-2=

2(1-x)

x

．
∴当x＞1时，函数f（x）单调递减．
则f（3）=2ln3-1＞0，f（2）=2ln2-3＜0．
∴f（x）=0的解x₀∈（2，3）．
由（x+1）（x-3-x₀）＜0，
∴-1＜x＜3+x₀．
∵（3+x₀）∈（5，6），
∴满足-1＜x＜3+x₀的最大整数解为5．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点存在定理、一元二次不等式解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．