题目内容
如图，现要在边长为
的正方形
内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为
（
不小于
）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为
的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于
，绕岛行驶的路宽均不小于
.
（1）求的取值范围；（运算中
取
）
（2）若中间草地的造价为
元
，四个花坛的造价为
元，其余区域的造价为
元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
(1) 
,(2) 
.
解析试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.难点在所列函数解析式是四次，其导数为三次，在判定区间导数符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构.
试题解析：（1）由题意得，
4分
解得
即. 7分
（2）记“环岛”的整体造价为
元，则由题意得
， 10分
令
，则
，
由
，解得
或
， 12分
列表如下：
所以当
9 (9,10) 10 (10,15) 15 
－ 0 ＋ 0 
↘ 极小值 ↗ ，取最小值.
答：当时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分
考点：利用导数求最值，解不等式.
练习册系列答案
相关题目
, 在
处取得极小值2．
的解析式；
， 若对于任意
，总存在
， 使得
， 求实数 
的取值范围．
；
在
上单调递增；
，若直线PQ∥x轴，求P,Q两点间的最短距离.
为函数
图象上一点，O为坐标原点，记直线
的斜率
．
在区间
上存在极值，求实数m的取值范围；
，若对任意
恒有
，求实数
的取值范围．
．
在（0，+∞）内的极值；
，
，且
形成的平面区域的面积．
.
,求
在点
处的切线方程；
恒成立，求
的取值范围.
.
在
和
处的切线互相平行，求
的值；
的单调区间；
，若对任意
，均存在
，使得
，求
，如果函数
恰有两个不同的极值点
，
，且
.
；（Ⅱ）求
的最小值，并指出此时
的值.