题目内容

已知函数, 在处取得极小值2.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)设函数, 若对于任意,总存在, 使得, 求实数 的取值范围.

(1)函数的解析式为 ;(2)时,函数有极小值-2;当时,函数有极大值2 ;(3)a的取值范围是(-∞,-1]∪[ 3,+∞).

解析试题分析:(1)根据函数在极值处导函数为0,极小值为2联立方程组即可求得m,n;(2)由(1)求得函数解析式,对函数求导且让导函数为0,即可求得极大值和极小值;(3)依题意只需即可,当时,函数有最小值-2 ,即对任意总存在,使得的最小值不大于-2 ;而,分三种情况讨论即可.
试题解析:(1)∵函数处取得极小值2,∴         1分
     ∴    
由②式得m=0或n=1,但m=0显然不合题意       ∴,代入①式得m=4
                                      2分
经检验,当时,函数处取得极小值2 
∴函数的解析式为                          4分
(2)∵函数的定义域为且由(1)有
,解得:
∴当x变化时,的变化情况如下表:

x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)


0
+
0



极小值-2

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