题目内容
已知函数, 在处取得极小值2.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)设函数, 若对于任意,总存在, 使得, 求实数 的取值范围.
(1)函数的解析式为 ;(2)时,函数有极小值-2;当时,函数有极大值2 ;(3)a的取值范围是(-∞,-1]∪[ 3,+∞).
解析试题分析:(1)根据函数在极值处导函数为0,极小值为2联立方程组即可求得m,n;(2)由(1)求得函数解析式,对函数求导且让导函数为0,即可求得极大值和极小值;(3)依题意只需即可,当时,函数有最小值-2 ,即对任意总存在,使得的最小值不大于-2 ;而,分、、三种情况讨论即可.
试题解析:(1)∵函数在处取得极小值2,∴ 1分
又 ∴
由②式得m=0或n=1,但m=0显然不合题意 ∴,代入①式得m=4
∴ 2分
经检验,当时,函数在处取得极小值2
∴函数的解析式为 4分
(2)∵函数的定义域为且由(1)有
令,解得:
∴当x变化时,的变化情况如下表:x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) — 0 + 0 — 减 极小值-2