已知a.b为常数.a¹0.函数．(1)若a=2.b=1.求在内的极值,(2)①若a>0.b>0.求证:在区间[1.2]上是增函数,②若..且在区间[1.2]上是增函数.求由所有点形成的平面区域的面积．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知a，b为常数，a¹0，函数．
（1）若a=2，b=1，求在（0，+∞）内的极值；
（2）①若a>0，b>0，求证：在区间[1，2]上是增函数；
②若，，且在区间[1，2]上是增函数，求由所有点形成的平面区域的面积．

（1），（2）①详见解析，②

解析试题分析：（1）求具体函数极值问题分三步，一是求导，二是求根，三是列表，关键在于正确求出导数，即；求根时需结合定义区间进行取舍，如根据定义区间舍去负根；列表时需注意导数在对应区间的符号变化规律，这样才可得出正确结论，因为导数为零的点不一定为极值点，极值点附近导数值必须要变号，（2）①利用导数证明函数单调性，首先要正确转化，如本题只需证到在区间[1，2]上成立即可，由得只需证到在区间[1，2]上，因为对称轴在区间[1，2]上单调增，因此只需证，而这显然成立，②中条件“在区间[1，2]上是增函数”与①不同，它是要求在区间[1，2]上恒成立，结合二次函数图像可得关于不等关系，再考虑，，可得可行域.
试题解析：（1）解:      2分
当时, ,
令得或(舍去)     4分
当时, 是减函数,
当时,是增函数
所以当时,取得极小值为     6分
（2）令
①证明:二次函数的图象开口向上,
对称轴且      8分
对一切恒成立.
又对一切恒成立.
函数图象是不间断的,
在区间上是增函数.     10分
②解:
即
在区间上是增函数
对恒成立.
则对恒成立.
     12分
在(*)(**)的条件下,且
且恒成立.
综上,点满足的线性约束条件是     14分
由所有点形成的平面区域为 (如图所示),
其中
则
即的面积为.     16分
考点：求函数极值，二次函数恒成立，线性规划求面积.

练习册系列答案

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已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x²－10x的一个极值点．
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．

已知函数,其中.
（1）当时,求函数在处的切线方程；
（2）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围；
（3）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值．

设函数．
（Ⅰ）若在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明．

如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于.

（1）求的取值范围；（运算中取）
（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？