题目内容
已知xi＞0（i=1，2，3，…，n），我们知道有（x1+x2）（
+
）≥4成立．
（Ⅰ）请证明（x1+x2+x3）（
+
+
）≥9；
（Ⅱ）同理我们也可以证明出（x1+x2+x3+x4）（
+
+
+
）≥16
由上述几个不等式，请你猜测与x1+x2+…+xn和
+
+…+
（n≥2，n∈N*）有关的不等式，并用数学归纳法证明．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
（Ⅰ）请证明（x1+x2+x3）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
（Ⅱ）同理我们也可以证明出（x1+x2+x3+x4）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| x4 |
由上述几个不等式，请你猜测与x1+x2+…+xn和
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
考点：数学归纳法,基本不等式
专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法
分析：（Ⅰ）利用基本不等式，即可证明（x1+x2+x3）（
+
+
）≥9；
（Ⅱ）猜测（x1+x2+…+xn）（
+
+…+
）≥n2（n≥2），再用数学归纳法证明．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
（Ⅱ）猜测（x1+x2+…+xn）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
解答：
证明：（Ⅰ）（x1+x2+x3）（
+
+
）=3+（
+
）+（
+
）+（
+
）≥3+2+2+2=9，
∴（x1+x2+x3）（
+
+
）≥9
（Ⅱ）猜测满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（
+
+…+
）≥n2（n≥2），
证明如下：
（1）当n=1时，x1•
≥1，猜想成立；当n=2时，（x1+x2）（
+
）≥4，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xk）（
+
+…+
）≥k2，
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（
+
+…+
+
）=（x1+x2+…+xk）（
+
+…+
）+xk+1（
+
+…+
）+（x1+x2+…+xk）
+1≥k2+2k+1=（k+1）2
则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥1都成立．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
| x1 |
| x3 |
| x3 |
| x1 |
| x2 |
| x3 |
| x3 |
| x2 |
∴（x1+x2+x3）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
（Ⅱ）猜测满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
证明如下：
（1）当n=1时，x1•
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xk）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
| 1 |
| xk+1 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
| 1 |
| xk+1 |
则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥1都成立．
点评：本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设．
练习册系列答案
相关题目
已知棱锥V-ABCD的高为h，底面是矩形，侧棱VD垂直于底面ABCD，另外两侧面VBC，VBA和底面分别成30°和45°角，求棱锥的全面积S全．