Question

设a，b为正实数，若

1

b

-

1

a

=1，判断a-b与1的大小关系，并证明．

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：不等式的解法及应用

分析：由

1

b

-

1

a

=1，可得b=

a

a+1

．作差a-b-1=a-

a

a+1

-1=

a2-a-1

a+1

．

解答： 解：∵

1

b

-

1

a

=1，∴b=

a

a+1

．
∴a-b-1=a-

a

a+1

-1=

a2-a-1

a+1

．
由a²-（a+1）＞0，a＞0，解得a＞

1+ 5

2

，∴当a＞

1+ 5

2

时，a-b＞1；
由a²-（a+1）=0，a＞0，解得a=

1+ 5

2

，∴当a=

1+ 5

2

时，a-b=1；
由a²-（a+1）＜0，a＞0，解得0＜a＜

1+ 5

2

，∴当0＜a＜

1+ 5

2

时，a-b＜1．

点评：本题考查了作差法比较两个数的大小、一元二次不等式的解法，属于基础题．