Question

已知函数f（x）=

3

sin²x+sinxcosx
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[

π

2

，π]上的零点；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-

3

2

，求函数g（x）的图象的对称轴方程和对称中心．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式化简，令f（x）=0，求得x，则函数在区间上的零点可得．
（Ⅱ）求得g（x）的解析式，利用正弦函数图象与性质求得函数的对称轴方程和对称中心．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

-

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，
令f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

=0，求得sin（2x-

π

3

）=-

3

2

，
∴x=kπ或x=kπ-

π

6

，k∈Z，
∵x∈[

π

2

，π]，
∴x=π或

5π

6

．当x=π时，
∴函数的在区间上的零点为（π，0），（

5π

6

，0）
（Ⅱ）g（x）=sin（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
故函数的对称轴方程为x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
令2x-

π

3

=kπ，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴函数的对称中心为（

kπ

2

+

π

6

，0）（k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数的对称方程，对称中心，单调性，最值能全面掌握．