Question

（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：为定值．

 

Answer 1

（Ⅰ）．

（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的几何性质求出a、b的值，从而写出标准方程．

（2）设M（2，y0），写出直线CM的方程，并把它代入椭圆的方程，可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，计算这2个向量坐标的数量积，得出定值．

【解析】
（1）∵左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，

∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，∴椭圆方程为．（4分）

（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），

则．

直线CM：y﹣0=（x+2），即 ．（6分）

代入椭圆x2+2y2=4，得，故次方程的两个根分别为﹣2和x1，（8分）

由韦达定理可得x1﹣2=，∴，∴．

∴，（10分）

∴+==4 （定值）．（12分）