题目内容

【题目】已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.

（1）求抛物线E的方程；

（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.

【答案】（1）；（2）证明见解析，的最小值为.

【解析】

（1）将点的坐标代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得抛物线的方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线的方程，联立直线的方程求得的坐标，由此判断出动点在定直线上.求得的表达式，利用基本不等式求得其最小值.

（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.

（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.

直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.

练习册系列答案
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