题目内容
【题目】己知圆F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圆F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．
（1）证明：圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；
（2）已知点Q(m，0)(m<0)，过点E斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交于M，N两点，记直线QM的斜率为k1，直线QN的斜率为k2，是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析，
（2）存在，
【解析】
（1）求出圆
和圆
的圆心和半径，通过圆F1与圆F2有公共点求出
的范围，从而根据
可得
点的轨迹，进而求出方程；
（2）过点且斜率为
的直线方程为
，设
，
，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理以及
，
，可得
，根据其为定值，则有
，进而可得结果.
（1）因为
，
，所以
，
因为圆的半径为
，圆的半径为
，
又因为
，所以
，即
，
所以圆与圆有公共点，
设公共点为，因此，所以点的轨迹
是以，为焦点的椭圆，
所以
，
，
，
即轨迹的方程为；
（2）过点且斜率为的直线方程为，设，
由
消去
得到
，
则
，
， ①
因为，，
所以
，
将①式代入整理得
因为
，
所以当时，即时，
.
即存在实数使得.
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