Question

【题目】已知函数，若在处的切线方程为．

（I）求实数a，b的值；

（Ⅱ）证明，函数在x轴的上方无图像；

（Ⅲ）确定实数k的取值范围，使得存在，当时，恒有．

Answer 1

【答案】（I）， （II）证明见解析 （Ⅲ）

【解析】

（I）由题意得，解方程即可得解；

（II）构造函数，求导后证明函数即可得证；

（III）由（II）知时不成立；当时，由不等式的基本性质可得不符合要求；当时，构造函数证明即可得解.

（I）由，则，

又切线方程为，令，则，

所以且，

，则那得：，.

（II）由（Ⅰ）知，

令，

则，

令得，（舍）．

当时，；当时，．

则在上单调递增，在上单调递减

所以当时，取得最大值．

即．

所以函数在轴的上方无图像．

（III）由（II）可知，

①当时，，

所以不存在，当时，恒有；

所以不符合题意．

②当时，对于，，

所以不存在，当时，恒有成立；

所以不符合题意．

③当时，设．

因，

令，即．

因为，

解得，

令，则，单调递增，

又因为，所以，．

取．当时，，则在上单调递增．

所以．即．

所以符合题意．

故实数k的取值范围是．