题目内容
【题目】如图，空间几何体
中，
是边长为2的等边三角形，
，
，
，平面
平面
，且平面
平面，
为
中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）分别取
，
的中点
，
，连接
，
，
，
，
，要证明
平面
，只需证明面∥面
即可.
（2）以点为原点，以
为
轴，以为
轴，以
为
轴，建立空间直角坐标系，
分别计算面
的法向量
，面
的法向量可取
，并判断二面角为锐角，再利用
计算即可.
（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.
由平面
平面，且交于，
平面
，
有
平面，
由平面
平面，且交于，
平面，
有
平面
，所以∥，又平面
，
平面，所以∥平面
，由
，
有，∥，又
平面，
平面
，所以∥平面，
由∥平面，∥平面，
，所以平面∥平面，所以∥平面
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系
由面，所以面的法向量可取
，
点
，点
，点
，
，
，
设面的法向量
，所以
，取
，
二面角
的平面角为
，则为锐角.
所以
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