Question

【题目】已知函数为奇函数，且的极小值为.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若过点可作三条不同的直线与曲线相切，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意可得，代入表达式可得，从而可得，求导函数令，求出极值点，再利用导数判断函数的单调性，进而确定的极小值为，由即可求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设点是曲线的切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程得，设，只要使函数有3个零点即可，利用导数与函数单调性的关系可得，解不等式组即可.

（Ⅰ）因为是奇函数，所以恒成立，则.

所以，所以，

则

令，解得或.

当时，，当时，.

在单调递减，在单调递增，所以的极小值为，

由，解得，

所以，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

设点是曲线的切点，则在点处的切线的方程为即

因为其过点，所以，，

由于有三条切线，所以方程应有3个实根，

设，只要使曲线有3个零点即可.

设，∴或分别为的极值点，

当和时，在和上单调递增，

当时，在上单调递减，

所以，为极大值点，为极小值点.

所以要使曲线与轴有3个交点，当且仅当，即，

解得.

即实数的取值范围为.