Question

【题目】已知

（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；

（2）若函数有两个极值点 ， 且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明．

Answer 1

【答案】（1）（2）函数有两个零点和

【解析】试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。

解析：（1）当时， ，因为函数在上单调递增，

所以当时， 恒成立．

函数的对称轴为．

①，即时， ，

即，解之得，解集为空集；

②，即时，

即，解之得，所以

③，即时，

即，解之得，所以

综上所述，当 函数在区间 上单调递增．

（2）∵有两个极值点，

∴是方程的两个根，且函数在区间和上单调递增，在上单调递减．

∵

∴函数也是在区间和上单调递增，在上单调递减

∵，∴是函数的一个零点．

由题意知：

∵，∴，∴∴，∴又

∵是方程的两个根，

∴， ,

∴

∵函数图像连续，且在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

∴当时， ，当时，当时，

∴函数有两个零点和．