Question

已知a，b是实数，x=1是函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx的一个极值点．
（Ⅰ）求a与b的关系；
（Ⅱ）对任意可取的实数a，当x∈[0，2]时，求证：2f（x）≤|3a-5|+3a+3．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，根据x=1是函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx的一个极值点，可得f′（1）=6-6（a+1）+b=0，△≠0，即可求a与b的关系；
（Ⅱ）记M为f（x）在x∈[0，2]上的最大值．分类讨论，求出M，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+b，
∵x=1是函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx的一个极值点，
∴f′（1）=6-6（a+1）+b=0，△≠0，
∴b=6a，a≠1；
（Ⅱ）证明：f′（x）=6（x-a）（x-1），f（0）=0，f（2）=4，
记M为f（x）在x∈[0，2]上的最大值．
①a≤0时，M=f（2）=4，则有2f（x）≤2M=8=|3a-5|+3a+3；
②0＜a＜1时，M=max{f（a），f（2）}，而f（a）=a²（3-a）＜3a²＜4，M=f（2）=4，则有2f（x）≤2M=8=|3a-5|+3a+3；
③1＜a≤

5

3

时，M=max{f（1），f（2）}，而f（1）=3a-1≤4，M=f（2）=4，则有2f（x）≤2M=8=|3a-5|+3a+3；
④

5

3

＜a＜2时，M=max{f（1），f（2）}，而f（1）=3a-1＞4，M=3a-1，则有2f（x）≤2M=6a-2=|3a-5|+3a+3；
⑤a≥2时，M=f（1）=3a-1，则有2f（x）≤2M=6a-2=|3a-5|+3a+3．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查利用导数研究函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，有难度．