Question

已知椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，线段PQ是椭圆过点F₂的弦，则△PF₁Q内切圆面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：根据三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，可知求出△F₁PQ面积的最大值即可．

解答： 解：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．
设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
于是S_△F1PQ=

1

2

|F₁F₂|•|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=12

m2+1 (3m2+4)2

．
∵

m2+1

(3m2+4)2

=

1

9m2+9+ 1 m2+1 +6

≤

1

16

，
∴S_△F1PQ≤3
所以内切圆半径r=

2S△F1PQ

8

≤

3

4

，
因此其面积最大值是

9

16

．
故答案为：

9

16

．

点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值，解题的关键是转化为求△F₁PQ面积的最大值．