Question

18．已知函数f（x）=|x-1|，x∈R
（Ⅰ）求不等式|f（x）-3|≤4的解集；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+3）≥m²-2m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得 0≤f（x）≤7，即0≤|x-1|≤7，-7≤x-1≤7，由此求得x的范围．
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得g（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为3，可得m²-2m≤3，由此求得m的范围．

解答 解：（ I）由|f（x）-3|≤4 知-4≤f（x）-3≤4，即-1≤f（x）≤7．
又f（x）≥0，故 0≤f（x）≤7，∴0≤|x-1|≤7，-7≤x-1≤7，∴-6≤x≤8，
∴所求不等式的解集为{x|-6≤x≤8}．
（ II）由f（x）+f（x+3）≥m²-2m，即|x-1|+|x+2|≥m²-2m恒成立．
令g（x）=|x-1|+|x+2|，则g（x）的最小值为|（x-1）-（x+2）|=3，∴m²-2m≤3，求得-1≤m≤3，
∴m的取值范围是{m|-1≤m≤3}．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，属于中档题．